Bilan : matrices, valeurs propres et suites

Ce que tu sais faire

Rattrapage : matrice 3×3 symétrique

L'exercice de rattrapage du cours prend $A = \begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$. Son polynôme caractéristique est de degré 3 : $\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\big((2-\lambda)^2-2\big)$ (calcul ajouté), de racines $2$, $2+\sqrt2$ et $2-\sqrt2$, toutes réelles car $A$ est symétrique. Les vecteurs propres associés sont (calcul ajouté) $(1,\sqrt2,1)$, $(1,0,-1)$ et $(1,-\sqrt2,1)$, orthogonaux deux à deux. Le cours demande aussi de comparer avec numpy.linalg.eig, qui renvoie les valeurs propres et les vecteurs propres (en colonnes).

Suite normalisée

Pour $X_{n+1}=AX_n$ avec $X_0=(1,0,0)$, on a $X_n=A^nX_0$ et la valeur propre dominante $2+\sqrt2\approx3{,}414$ domine à long terme : la suite normalisée $Y_n=X_n/\lVert X_n\rVert$ converge vers la direction du vecteur propre dominant (conjecture du cours, à vérifier numériquement). En Python pur, on le vérifie en itérant $X\leftarrow AX$ puis en divisant par la norme à chaque pas (exercice de la partie S'exercer).

Pièges classiques

• $AB\ne BA$, et les tailles doivent s'accorder.
• Vecteur nul exclu des vecteurs propres ; un multiple d'un vecteur propre reste propre.
• Même ordre dans $P$ et $D$.
• Valeur propre double : pas toujours diagonalisable.
• $\det A=0$ : pas de solution unique, pas d'inverse.