Déterminant, inverse et systèmes 2×2

Déterminant 2×2

Pour une matrice $2\times2$ :

Exemple : $\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot1 - 1\cdot1 = 1$. Autre : $\det \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 4 - 4 = 0$ (calculs ajoutés).

Inverse d'une matrice

Une matrice $A$ est inversible s'il existe $A^{-1}$ tel que $A A^{-1} = I$ ($I$ = matrice identité, des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs).

Méthode de la matrice augmentée

On écrit $(A \mid I)$ et on applique des opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir $(I \mid A^{-1})$. Exemple du cours avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ :

Résultat : $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Vérification : $A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Résoudre un système linéaire 2×2

Un système de deux équations à deux inconnues s'écrit sous forme matricielle $A x = b$ avec $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$. Le but : trouver le vecteur $x$.

Condition d'existence d'une solution unique : si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Dans ce cas $x = A^{-1} b$.

Exemples des énoncés du cours (résolutions ajoutées) :

• $3x+2y=7$, $x-y=1$ : $\det = 3\cdot(-1)-2\cdot1 = -5 \ne 0$, solution $x = 1{,}8$, $y = 0{,}8$.
• $4x-y=10$, $2x+y=8$ : en additionnant, $6x = 18$ donc $x=3$, $y=2$.
• $2x+4y=8$, $x+2y=4$ : $\det = 4-4 = 0$, pas de solution unique (la deuxième équation est la moitié de la première : infinité de solutions).

Au-delà de 2×2 avec NumPy

Pour $3\times3$ ou plus on utilise x = np.linalg.solve(A, b). Si $\det(A) = 0$, NumPy lève LinAlgError: Singular matrix. Au-delà de $3\times3$, NumPy applique des méthodes robustes comme les décompositions LU ou QR.

Inverse 2×2 par formule (hors cours, pour les exercices) : $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.