Multiplier : matrice-vecteur et matrice-matrice

II.1 Matrice × vecteur

Pour une matrice $A$ et un vecteur $x$, le produit $Ax$ se calcule ligne par ligne :

Exemple du cours avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ et $x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ :

Interprétation : la matrice transforme le vecteur en l'étirant, le tournant ou le comprimant.

II.2 Matrice × matrice

Règle pour deux matrices $2\times2$ :

Retiens : ligne × colonne pour chaque élément. En général, $C = A\times B$ avec $C_{ij}$ = somme des produits (ligne $i$ de $A$) × (colonne $j$ de $B$).

Exemple (énoncé du cours). $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ : $C_{11} = 1\cdot3+2\cdot4 = 11$, $C_{12} = 1\cdot1+2\cdot2 = 5$, $C_{21} = 0\cdot3+1\cdot4 = 4$, $C_{22} = 0\cdot1+1\cdot2 = 2$. Donc $AB = \begin{pmatrix} 11 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$.

Compatibilité des tailles

Pour multiplier $A_{n\times p}$ et $B_{p\times m}$ il faut :

Le résultat est de taille $n\times m$. Ici $n$ = nombre d'individus / situations / observations, $p$ = nombre de variables / paramètres par individu.

Attention : pas commutatif

En général $AB \neq BA$. Exemple du cours : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ donnent $AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ mais $BA = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ (calculs ajoutés).

Avec NumPy, l'opérateur @ fait le produit matriciel : C = A @ B. Il ne marche que sur des np.array. Les exercices de ce site se font en Python pur.