Partie 2 · Matrices

Transformations, transposée et matrices symétriques

III. Transformations linéaires

Une matrice carrée représente une transformation linéaire de l'espace vers lui-même. Les quatre transformations fondamentales du cours :

Transformation	Matrice	Effet
Étirement	$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$	multiplie $x$ par 3, laisse $y$ inchangé
Compression	$\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$	réduit toutes les directions d'un facteur 2
Réflexion	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$	symétrie par rapport à l'axe $x$
Rotation	$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$	rotation de tout l'espace d'un angle $\theta$

Lire une matrice diagonale. Pour $\operatorname{diag}(a,d)$ , le point $(x,y)$ devient $(ax, dy)$ . Ainsi $\begin{pmatrix}-2&0\\0&1\end{pmatrix}$ envoie $(1,1)$ sur $(-2,1)$ : une symétrie (signe moins sur $x$ ) combinée à un étirement (facteur 2), calcul ajouté.

Rotation de 90°. Avec $\cos 90° = 0$ et $\sin 90° = 1$ , la matrice vaut $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et envoie $(1,0)$ sur $(0,1)$ (exemple ajouté).

Vérifie que tu as compris

Quel est l'effet de

\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}

sur le point

(x,y)

Vérifie que tu as compris

La matrice

\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

représente…

IV. Transposée et matrices symétriques

La transposée $A^T$ échange lignes et colonnes : le coefficient $(i,j)$ de $A^T$ est $a_{ji}$ . Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ : $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ . Une matrice $2\times3$ a une transposée $3\times2$ .

Une matrice est symétrique si $A = A^T$ , c'est-à-dire $a_{ij} = a_{ji}$ . Exemple :

S = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

Les matrices symétriques ont des propriétés géométriques fortes : toute matrice symétrique réelle admet une famille complète de vecteurs propres réels, mutuellement orthogonaux, qui forment une base (théorème du cours, voir la leçon 5).

Vérifie que tu as compris

Quelle matrice est symétrique ?