Partie 2 · Matrices

Vecteurs propres et valeurs propres

Définition

Pour une matrice carrée $A$ , un vecteur non nul $v$ est un vecteur propre s'il existe un réel $\lambda$ tel que :

A v = \lambda v

$v$ est une direction préservée ; $\lambda$ (la valeur propre) est le facteur d'étirement dans cette direction. Le vecteur nul est exclu (il vérifie toujours l'égalité, donc ne dit rien).

Exemple du cours. $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ : $A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , donc $(1,0)^T$ est propre avec $\lambda = 3$ . De même $A(0,1)^T = 2(0,1)^T$ .

Schéma ajouté : avec la matrice $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ (cas des cellules plus bas), $(1,1)$ est envoyé sur $(6,6)$ : même droite, 6 fois plus long.

Vérifie que tu as compris

Pour qu'un vecteur

v

soit propre de

A

, que faut-il ?

Trouver les valeurs propres

On résout $\det(A - \lambda I) = 0$ . Pour une matrice $2\times2$ avec $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ :

\det(A-\lambda I) = (a-\lambda)(d-\lambda) - bc = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0

soit $\lambda^2 - \text{tr}(A)\,\lambda + \det(A) = 0$ (où $\text{tr}$ est la trace, somme de la diagonale ; développement ajouté). La somme des valeurs propres est donc la trace, leur produit est le déterminant.

Trouver les vecteurs propres

Pour chaque $\lambda$ , on résout $(A-\lambda I)v = 0$ ; les solutions non nulles sont les vecteurs propres.

Exemple : cellules immunitaires et tumorales (énoncé du cours), $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ :

trace 8, déterminant $16-4=12$ : $\lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0$ donne $\lambda_1 = 6$ et $\lambda_2 = 2$ (calcul ajouté) ;
$\lambda_1 = 6$ : $(A-6I)v=0$ donne $-2x+2y=0$ donc $v = (1,1)$ ;
$\lambda_2 = 2$ : $2x+2y=0$ donc $v = (1,-1)$ .

Interprétation biologique du cours : $(1,1)$ , $\lambda=6$ = évolution conjointe, les deux populations montent ou descendent ensemble (comportement dominant). $(1,-1)$ , $\lambda=2$ = relation opposée (comportement secondaire).

Vérifie que tu as compris

Quelles sont les valeurs propres de

A=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}

Vérifie que tu as compris

Pour

A=\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}

v=(1,-1)

, que vaut

Av

Cas à connaître

Matrice	Valeurs propres	Directions propres
$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (diagonale)	4 et 1 (la diagonale)	$(1,0)$ et $(0,1)$
$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$	3 et 2	$(1,0)$ et $(1,-1)$ : diagonalisable
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ (symétrique)	3 et 1	$(1,1)$ et $(1,-1)$ : orthogonaux
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$	2 (double)	une seule direction : $(1,0)$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$	1 (double)	une seule direction : non diagonalisable

(Valeurs et directions des matrices de la liste d'exercices du cours : calculs ajoutés.) Un vecteur propre n'est pas unique : tout multiple non nul reste propre, avec la même valeur propre.

Théorèmes du cours

Symétrique réelle : famille complète de vecteurs propres réels, orthogonaux, qui forment une base.
Diagonalisable : assez de vecteurs propres pour former une base (pas forcément orthogonaux).
Autres : pas assez de vecteurs propres pour une base (voire aucun).

À quoi ça sert ?

Analyser les directions principales d'une fonction (via une Hessienne), comprendre des données (ACP), étudier la stabilité de systèmes, optimiser des critères. En statistique, on diagonalise la matrice de covariance : les vecteurs propres sont les axes principaux, les valeurs propres les variances importantes. Pour la taille et le poids, la direction propre dominante traduit que les deux augmentent souvent ensemble.

Vérifie que tu as compris

Pourquoi

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

n'est-elle pas diagonalisable ?

Vérifie que tu as compris

Que décrit la diagonalisation de la matrice de covariance en statistique ?