Diagonalisation et dynamique $X_{n+1}=MX_n$

Diagonaliser : $A = P D P^{-1}$

Diagonaliser, c'est réécrire $A$ dans une base de vecteurs propres. Les étapes du cours :

1. résoudre $\det(A-\lambda I)=0$ : valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2,\dots$ ;
2. résoudre $(A-\lambda I)v=0$ pour chaque $\lambda$ : vecteurs propres ;
3. $P = [v_1\ v_2\ \dots\ v_n]$ : un vecteur propre par colonne ($P$ inversible si $A$ est diagonalisable) ;
4. $D$ diagonale avec les valeurs propres dans le même ordre que les colonnes de $P$ ;
5. alors $AP = PD$ (car $Av_i=\lambda_iv_i$), donc $A = PDP^{-1}$.

Exemple (énoncé du cours, calculs ajoutés). $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ : $\lambda_1 = 5$ avec $v_1=(2,1)$, $\lambda_2=2$ avec $v_2=(1,-1)$. Donc

(avec $\det P = -3$). Dans la base des vecteurs propres, la transformation devient diagonale : « $A$ et $D$ font la même chose, $A$ dans la base normale, $D$ dans la base des vecteurs propres où tout est plus simple ».

Pourquoi c'est puissant : la dynamique

Un modèle $X_{n+1} = M X_n$ donne $X_n = M^n X_0$. Si $M = PDP^{-1}$, alors $M^n = PD^nP^{-1}$ et $D^n$ est diagonale avec les $\lambda_i^n$. Si on écrit $X_0 = \alpha v_1 + \beta v_2$ :

Pour $n$ grand, la composante de la plus grande valeur propre en valeur absolue (la valeur propre dominante) l'emporte : la direction de $X_n$ tend vers $v_1$ (si $\alpha\ne0$).

Économie à deux secteurs (énoncé du cours), $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, avec $X_0=(3,0)$ (exemple ajouté) : $X_0 = 1\cdot(2,1) + 1\cdot(1,-1)$, donc $X_n = 5^n(2,1) + 2^n(1,-1)$. Le rapport industrie / services tend vers $2$ : l'industrie domine à long terme.

Exemple $A=\operatorname{diag}(3,2)$, $x_0=(1,1)$ (exercice du cours) : $A^5x_0 = (3^5, 2^5) = (243, 32)$ ; la valeur propre $3$ prend le dessus.

TP : compétition entre deux espèces

Deux espèces partagent un territoire : $x_n$ (espèce A) et $y_n$ (espèce B). Le modèle du TP :

Interprétation : sur la diagonale, chaque espèce croît d'elle-même (1,2 et 1,1) ; les coefficients négatifs (-0,3 et -0,2) disent que chaque espèce freine l'autre : c'est la compétition. Le TP demande : calculer $X_1$, $X_2$ à la main, puis valeurs et vecteurs propres, la valeur propre dominante, et le comportement à long terme.

Marche à suivre (calculs ajoutés) : $X_1 = (1{,}2\cdot100 - 0{,}3\cdot80,\ -0{,}2\cdot100+1{,}1\cdot80) = (96, 68)$ puis $X_2 = (94{,}8, 55{,}6)$. Trace $2{,}3$, déterminant $1{,}26$ : $\lambda_1 = 1{,}4$ avec $v_1=(3,-2)$ et $\lambda_2 = 0{,}9$ avec $v_2=(1,1)$. La valeur propre dominante $1{,}4>1$ contrôle le long terme, la composante en $0{,}9^n$ s'éteint.

Lecture critique. Comme $v_1=(3,-2)$ a une composante négative, le modèle linéaire finit par donner une population négative pour B : il cesse d'être réaliste (l'espèce B disparaîtrait avant). Le modèle décrit la tendance, pas la vérité biologique.

Autre TP du cours (diffusion d'un produit). $M = \begin{pmatrix} 1{,}15 & -0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}85 \end{pmatrix}$, $X_0=(120,60)$ : $X_1 = (114, 87)$. Ici trace $2$, déterminant $1{,}0975$, donc $\text{tr}^2-4\det = -0{,}39 < 0$ : les valeurs propres sont des nombres complexes (hors cours, mais c'est ce qui fait « tourner » la direction de $X_n$ au lieu de la stabiliser sur une proportion fixe).