D'où viennent les matrices : vecteurs et modèles

Cette partie suit le cours « Matrices, vecteurs, transformations et vecteurs propres ». Avant les définitions, une question : d'où viennent les équations ou les matrices ? Elles servent à modéliser une quantité qui évolue de période en période.

Dimension 1 : une décroissance simple

Une quantité (population, prix, signal…) diminue de 20 % à chaque période. La relation réelle est :

Le coefficient 0,8 exprime une perte de 20 % : chaque période, on garde 80 % de la valeur précédente. La « transformation » est ici une matrice 1×1 : $[0{,}8]$.

Illustration ajoutée : départ à 100 (exemple ajouté), puis 80, 64, 51,2.

Dimension 2 : industrie et services

Deux secteurs se stimulent mutuellement. Le cours donne le modèle :

La matrice traduit comment chaque secteur influence l'autre et comment chacun s'auto-alimente (les coefficients 0,7 et 0,8 sur la diagonale).

Application (exemple ajouté). Avec $\text{Ind}_n = 100$ et $\text{Serv}_n = 50$ : la ligne 1 donne $0{,}7 \times 100 + 0{,}1 \times 50 = 75$, la ligne 2 donne $0{,}2 \times 100 + 0{,}8 \times 50 = 60$.

Remarque ajoutée : on suit toujours la matrice écrite (ligne 1 = nouvelle industrie, ligne 2 = nouveaux services).

I. Vecteurs et matrices

Un vecteur est un ensemble ordonné de nombres. Il représente une direction et une intensité :

Une matrice est un tableau de nombres. Elle représente une transformation linéaire : elle prend un vecteur en entrée et produit un nouveau vecteur.

On note $a_{ij}$ le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$. Dans $A$ ci-dessus, $a_{21} = 2$ et $a_{12} = 3$.