Bilan

Bilan : de l'algèbre au gradient

Ce que tu sais faire

étape	outil	résultat
Calculer	identités, puissances, $\ln$ , $\Delta$	expressions simplifiées, équations résolues
Dériver	dérivées usuelles, somme, produit, quotient, chaîne	$f'(x)$ : pente, tangente
Étudier	signe de $f'$ , $f''$ , limites, asymptotes	variations, convexité, comportement aux bornes
Résoudre numériquement	dichotomie, dérivée numérique	racine approchée, contrôle d'une dérivée
Passer à 2 variables	dérivées partielles, gradient, Hessien	points critiques classés
Optimiser	descente de gradient	$x\leftarrow x-\eta\nabla f$
Modéliser	$\texttt{polyfit}$ , $\texttt{diff}$ , $\ln$	$T=at+b$ , $A=1000\ln(t+1)$

Le fil conducteur

La dérivée mesure une pente. Le gradient est la pente en plusieurs dimensions. La descente de gradient suit $-\nabla f$ pour trouver un minimum ; le Hessien dit si le point trouvé est un minimum, un maximum ou un selle. Ces idées servent à entraîner les modèles de machine learning.

Vérifie que tu as compris

Que fait la descente de gradient à chaque étape ?

À toi de coder

Maximum du drone par recherche de racine

Pour $T(t)=20+4t\,e^{-0{,}3t}$ on a $T'(t)=4e^{-0{,}3t}(1-0{,}3t)$ . Écris dT(t), puis t_max() qui cherche par dichotomie sur $[0,10]$ (60 itérations) le $t$ où $T'(t)=0$ , et enfin T(t). On attend $t\approx3{,}333$ et $T_{\max}\approx24{,}905$ .

import math

def T(t):
    return 20 + 4 * t * math.exp(-0.3 * t)

def dT(t):
    return 4 * math.exp(-0.3 * t) * (1 - ___ * t)

def t_max():
    a, b = 0.0, 10.0
    for _ in range(60):
        m = (a + b) / 2
        if dT(a) * dT(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = ___
    return (a + b) / 2

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