Sens de variation, dérivée seconde et tangente

Dérivée et sens de variation

Pour étudier une fonction : 1. on calcule $f'$, 2. on étudie son signe, 3. on remplit un tableau de variation. La règle : $f'>0$ donc $f$ croît ; $f'<0$ donc $f$ décroît ; $f'=0$ donne les points critiques (minimum ou maximum possibles).

Exemple 1 du cours : pour $f(x)=x^3-3x$, on a $f'(x) = 3x^2 - 3$, et $f'(x)=0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1$.

La fonction croît, décroît, puis croît : maximum local en $x=-1$ et minimum local en $x=1$.

Un point critique n'est pas toujours un extremum : il faut que le signe de $f'$ change de part et d'autre.

Dérivée seconde et courbure

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée : $f''(x)=(f'(x))'$. Elle indique la courbure :

• $f''(x) > 0$ : la courbe est convexe (la pente augmente) ;
• $f''(x) < 0$ : la courbe est concave (la pente diminue).

Exemple : $f(x)=x^4$ donne $f''(x)=12x^2 \geq 0$ (convexe partout). Pour $h(x)=\ln x$, $h'(x)=\frac1x$ puis $h''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ : concave sur $]0,+\infty[$ (exemples ajoutés, issus des exercices proposés par le cours).

Tangente à une courbe

Quand on connaît $f'(a)$, la tangente à la courbe en $x=a$ a pour équation :

Exemple du cours : pour $f(x)=x^2$ en $x=1$, $f(1)=1$ et $f'(1)=2$, donc $y = 1 + 2(x-1)$, soit $y = 2x - 1$. Cette droite sert à l'approximation linéaire : près de $a$, la courbe ressemble à sa tangente.

Schéma ajouté : une courbe convexe et sa tangente en un point.