Limites, asymptotes, continuité et dichotomie

Limites aux bornes infinies

La limite décrit le comportement d'une fonction quand on s'approche d'un point ou quand on part vers l'infini. Pour un polynôme, le terme de plus haut degré domine :

• $f(x)=3x^3 - 2x \to +\infty$ quand $x\to+\infty$ ;
• $g(x)= -5x^4 + x \to -\infty$ quand $x\to+\infty$.

Limites en un point et asymptotes

Pour $\frac1x$ : $\lim_{x\to 0^+}=+\infty$ et $\lim_{x\to 0^-}=-\infty$. On dit que $x=0$ est une asymptote verticale.

Chercher une asymptote oblique

On cherche $y = ax + b$ en deux temps :

Si $a$ existe et est fini, il y a potentiellement une asymptote oblique ; si $a=0$, c'est une asymptote horizontale ; si la limite diverge, il n'y a pas d'asymptote.

Exemple du cours : $f(x)=\frac{x^2 + 3x - 1}{x} = x + 3 - \frac1x$. Alors $a = \lim \frac{f(x)}{x} = 1$ et $b = \lim (f(x) - x) = 3$, d'où l'asymptote $y = x + 3$.

Continuité

Une fonction est continue en $a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Cas typiques de non-continuité : un saut (fonction par morceaux mal raccordée), un point isolé, une asymptote verticale.

Fonctions définies par morceaux

Très importantes en data science (ReLU, Huber, fonctions de coût). Exemple :

Questions classiques : la fonction est-elle continue ? dérivable ? quelles sont ses variations ? Ici, à gauche de $0$ la limite est $0+2=2$, à droite $f(0)=0$ : il y a un saut (exemple ajouté : calcul de la limite à gauche). Ces « coins » expliquent les dérivées nulles ou inexistantes.

Méthode de dichotomie

Elle trouve numériquement une solution de $f(x)=0$ quand $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f(a)\cdot f(b) < 0$ (signes opposés). Principe :

1. choisir un intervalle $[a,b]$ où le signe change ;
2. calculer le milieu $m = \frac{a+b}{2}$ ;
3. si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires, la racine est dans $[a,m]$, sinon dans $[m,b]$ ;
4. répéter jusqu'à la précision voulue.

L'intervalle est divisé par deux à chaque étape : méthode lente mais infaillible si les conditions sont remplies. Exemple du cours : $x^2-2=0$, solutions $\pm\sqrt2$ ; la dichotomie permet d'approcher $\sqrt 2$ à une erreur $\varepsilon$ près.