Partie 1 · Algèbre

Révisions d'algèbre : les calculs essentiels

Avant de dériver, il faut être à l'aise avec une poignée de réflexes de calcul. Le cours commence par une révision : priorités, développer, factoriser, fractions, puissances, racines, logarithmes et équations simples.

Priorités de calcul

Toujours dans cet ordre : 1. parenthèses, 2. puissances et racines, 3. multiplications et divisions, 4. additions et soustractions.

3 + 2 \cdot 5^2 = 3 + 2 \cdot 25 = 3 + 50 = 53.

Piège : $(3+2)\cdot 5^2 = 125$ , pas $53$ . Les parenthèses changent tout.

Développer

Règle de base : $(a+b)(c+d)=ac + ad + bc + bd$ . Trois cas à connaître par cœur :

carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ;
carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ;
produit conjugué : $(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$ .

Exemple du cours : $(3x - 2)(x + 5) = 3x^2 + 15x - 2x - 10 = 3x^2 + 13x - 10$ .

Erreur classique : écrire $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ . Il manque le double produit $2ab$ .

Factoriser

Factoriser, c'est réécrire une expression sous forme de produit. Trois méthodes :

mise en évidence : $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ ;
identités remarquables : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ et $9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2$ ;
regroupement : $x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x + 1)$ .

Vérifie que tu as compris

Quelle est la forme factorisée de

x^2 - 4

Fractions et simplifications

On simplifie en divisant haut et bas par un même facteur : $\frac{6x}{9} = \frac{2}{3}x$ . Pour une fraction d'expressions, on factorise d'abord :

\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2).

La condition $x \neq 2$ compte : en $x=2$ , la fraction de départ n'est pas définie.

Puissances

règle	formule
produit	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
quotient	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
puissance de puissance	$(a^m)^n = a^{mn}$
puissance d'un produit	$(ab)^n = a^n b^n$
puissance d'un quotient	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Exemple du cours : $\frac{2^7}{2^3} = 2^{7-3} = 2^4 = 16$ .

Racines

$\sqrt{a^2} = |a|$ (une valeur absolue, pas simplement $a$ ) ; $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ pour $a,b \ge 0$ ; $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ . Exemple : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ .

Vérifie que tu as compris

Que vaut

\frac{5^7}{5^4}

Logarithmes (règles essentielles)

Avec $\ln$ le logarithme népérien :

\ln(ab)=\ln a + \ln b \qquad \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n\ln a \qquad e^{\ln(a)} = a \ (a>0).

Exemples du cours : $\ln(12)=\ln(3)+\ln(4)$ et $\ln(2^5)=5\ln 2$ . Le logarithme transforme les produits en sommes et les puissances en multiplications, ce qui sert beaucoup en modélisation (leçon 7).

Piège : $\ln(a+b)$ n'est pas égal à $\ln a + \ln b$ . Seul le produit se décompose.

Résoudre des équations simples

Premier degré : $3x - 5 = 13 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$ .

Second degré : pour $ax^2 + bx + c = 0$ , on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ puis

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.

Exemple du cours : $x^2 - 3x + 2 = 0$ donne $\Delta = 9 - 8 = 1$ , donc $x = \frac{3 \pm 1}{2}$ , soit $x=1$ ou $x=2$ .

Vérifie que tu as compris

Que vaut

\ln(8x)

, pour

x>0