Partie 2 · Dérivation

La dérivée : pente, dérivées usuelles et règles de calcul

L'idée : la pente de la courbe

La dérivée d'une fonction $f$ en un point $x$ mesure la pente de la courbe en ce point. On la voit comme une vitesse de variation :

f'(x) = \text{pente de la tangente au point } x.

$f'(x) > 0$ : la fonction augmente (pente positive) ;
$f'(x) < 0$ : la fonction diminue (pente négative) ;
$f'(x) = 0$ : tangente horizontale, candidats aux extremums.

Une fonction est dérivable sur un intervalle $I$ si sa pente existe en tout point : $f'(x)$ existe pour tout $x \in I$ .

Dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

Règles de calcul

Somme : $(f+g)' = f' + g'$ .
Produit : $(fg)' = f'g + fg'$ .
Quotient : $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ avec $g \neq 0$ .
Composition (chaîne) : $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .

Vérifie que tu as compris

Quelle est la dérivée de

f(x) = x^4 - 2x^2 + 1

Exemples de calcul

Chaîne. Pour $f(x) = e^{3x}$ , la fonction intérieure est $3x$ (dérivée $3$ ) : $f'(x) = 3e^{3x}$ . Toujours positif, donc $f$ est strictement croissante.

Quotient. Pour $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ :

f'(x)=\frac{2x\cdot x - (x^2 - 1)\cdot 1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2} > 0.

La fonction est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine (mais pas sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ tout entier : elle saute en $0$ ).

Produit. Pour $g(x)=\sqrt{x}\,(x^2+3)$ : $g'(x) = \frac{x^2+3}{2\sqrt{x}} + 2x\sqrt{x}$ (exemple ajouté, dans l'esprit des exercices du cours).

Vérifie que tu as compris

Quelle est la dérivée de

f(x) = e^{3x}

Vérifie que tu as compris

Quelle formule donne la dérivée d'un produit

fg

À toi de coder

Dérivée numérique (différence centrée)

On peut vérifier une dérivée sans la calculer à la main : on approche la pente par $\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ pour un petit $h$ . Écris derive_num(f, x, h=1e-5) qui renvoie cette valeur. Pour $f(x)=x^2$ en $x=3$ , on attend environ $6$ .

def derive_num(f, x, h=1e-5):
    return (f(x + h) - f(___)) / (___ * h)

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