Modéliser des données : températures, croissance et saturation

Un modèle linéaire pour la température

Le TP part de la température moyenne quotidienne d'une ville en avril : 30 valeurs, de $8{,}0\,°C$ (jour 1) à $15{,}2\,°C$ (jour 30), associées aux jours $t=1,\dots,30$. On suppose que la température augmente presque linéairement. On cherche donc

Le cours utilise np.polyfit(t, T, 1) (le 1 est le degré du polynôme) pour obtenir la droite de régression. Sans NumPy, les mêmes $a$ et $b$ viennent de la méthode des moindres carrés (formules hors cours) :

Interpréter : $a$ est la pente, c'est-à-dire la hausse de température par jour (en °C/jour) ; $b$ est l'ordonnée à l'origine, la valeur extrapolée au jour $0$. Prévoir au jour 35 revient à calculer $a\cdot35+b$ : une extrapolation à prendre avec prudence.

Le linéaire ne suffit pas toujours : np.diff

Si les écarts entre valeurs successives ne sont pas constants, le modèle n'est pas linéaire. np.diff(y) calcule $y_{i+1}-y_i$. Le cours donne la règle :

Attention au « zéro informatique » : des valeurs comme $10^{-14}$ ou $-3\times10^{-15}$ valent en fait $0$ (erreur machine).

Exemple ajouté : pour $y=t^2$ avec $t=1..5$, les valeurs $1,4,9,16,25$ donnent des différences $3,5,7,9$ (pas constantes) puis des différences secondes $2,2,2$ (constantes) : degré 2.

Modèle logarithmique. Si la croissance ralentit régulièrement, $y(t)=a\ln(t)+b$ convient : on pose $X=\ln t$ et on fait une régression linéaire de $y$ sur $X$.

Croissance qui ralentit : TP optimisation

Une influenceuse suit son nombre d'abonnés : croissance rapide puis ralentissement. Le modèle du cours est

avec $t$ en mois. Dérivée : $A'(t)=\frac{1000}{t+1}>0$, donc $A$ croît toujours. Dérivée seconde : $A''(t)=-\frac{1000}{(t+1)^2}<0$, donc $A$ est concave : la croissance ralentit sans cesse. Un mois est « faiblement intéressant » si le compte gagne moins de $50$ abonnés, soit $\frac{1000}{t+1}<50 \iff t+1>20 \iff t>19$ (calcul ajouté, en lisant la pente comme gain mensuel).

TP saturation numérique

Utilisateurs actifs (en milliers) d'une application au mois $t$ :

Ici $t\ln(t+2)$ est la croissance initiale, $-2t$ une perte naturelle d'utilisateurs et $+5$ une base stable de fidèles. La dérivée est $U'(t)=\ln(t+2)+\frac{t}{t+2}-2$. Le TP demande de montrer que $f=U'$ est strictement croissante (avec $f(0)=\ln2-2<0$ et $f(t)\to+\infty$), donc qu'il existe un unique $t_0$ tel que $U'(t_0)=0$, à trouver par dichotomie : $U$ décroît d'abord (perte d'utilisateurs) puis repart. Numériquement $t_0\approx2{,}319$ (calcul ajouté).

Examen : température interne d'un drone

Autre modèle du cours : $T(t) = 20 + 4t\,e^{-0{,}3t}$, $t\ge0$. La dérivée (produit et chaîne) est $T'(t)=4e^{-0{,}3t}(1-0{,}3t)$. Elle s'annule en $t=\frac{1}{0{,}3}\approx3{,}33$, positive avant et négative après : maximum thermique de $20+\frac{4}{0{,}3}e^{-1}\approx24{,}9\,°C$. Quand $t\to+\infty$, $te^{-0{,}3t}\to0$ donc $T\to20$ : la température revient vers la température de base (calculs ajoutés). Le cours définit aussi la vitesse de refroidissement $R(t)=-T'(t)=4e^{-0{,}3t}(0{,}3t-1)$.

TP température : série bruitée et dérivée numérique

Le TP simule 48 heures de température (sinusoïde jour/nuit + bruit normal), repère les valeurs aberrantes ($T<-5$ ou $T>35$) et les remplace par la moyenne de leurs deux voisins, puis calcule la dérivée numérique $T'(t_i)\approx T(t_{i+1})-T(t_i)$. On cherche l'heure de hausse la plus rapide, de baisse la plus rapide, et les heures « quasi stables » ($|T'|<0{,}1$).