Fonctions de deux variables, dérivées partielles et gradient

Fonctions à deux variables

Une fonction de deux variables est une application $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $(x,y) \mapsto f(x,y)$. On la rencontre en probabilités (densités), économie (coût, profit), physique (température, potentiel) et surtout en optimisation (machine learning, statistiques). Exemples : $f(x,y)=x^2+y^2$, $f(x,y)=e^{x+y}$, $f(x,y)=\frac{x}{y}$ avec $y\neq0$.

Deux façons de la représenter : une surface 3D $z=f(x,y)$, ou des courbes de niveau $f(x,y)=c$. Pour $f(x,y)=x^2+y^2$, ce sont des cercles centrés en l'origine.

Schéma ajouté : niveaux $c=1, 4, 9$ de $x^2+y^2$ (rayons $1, 2, 3$).

Dérivées partielles

Une dérivée partielle décrit comment $f$ varie quand on modifie une seule variable, l'autre étant tenue pour une constante :

Pour $f_x$ de $xy^2$, $y^2$ joue le rôle d'un nombre fixé : on dérive $x$ et il reste $y^2$.

Gradient

Le gradient regroupe les deux dérivées partielles dans un vecteur :

• c'est un vecteur local, calculé en un point donné ;
• il pointe vers la direction de variation la plus rapide (la plus forte augmentation) ;
• sa norme donne l'intensité de cette augmentation maximale.

Exemple : $f(x,y)=x^2+y^2 \Rightarrow \nabla f=(2x,2y)$. En $(1,2)$, le gradient vaut $(2,4)$ : pour monter vite, on s'éloigne de l'origine. Pour descendre, on suit $-\nabla f$, idée de la descente de gradient (leçon 6).

Dérivée directionnelle

La fonction peut varier dans n'importe quelle direction $u=(u_1,u_2)$ :

C'est une combinaison pondérée des dérivées partielles. Le cours demande de normaliser $u$ : pour $f(x,y)=x^2+3y$ et $u=(1,2)$, on prend $\frac{u}{\|u\|}=\frac{(1,2)}{\sqrt5}$ et $D_uf = \frac{2x+6}{\sqrt5}$ (calcul ajouté).

Approximation locale

Près d'un point, une fonction est presque linéaire. Pour de petits $\Delta x$, $\Delta y$ :

Exemple du cours : $f(x,y)=x^2+2y$ au point $(1,1)$ avec $(\Delta x,\Delta y)=(0{,}1;-0{,}2)$. Le gradient est $(2x, 2)=(2,2)$ en $(1,1)$, donc la variation estimée est $2\cdot0{,}1+2\cdot(-0{,}2)=-0{,}2$ : on passe de $f(1,1)=3$ à environ $2{,}8$ (le calcul exact donne $2{,}81$).