Séries numériques : normaliser et comparer deux capteurs

Deux capteurs mesurent un phénomène dans des unités différentes : comparaison directe impossible. Le TP du cours fournit deux séries de 30 mesures :

A = [12, 18, 25, 30, 35, 40, 41, 42, 45, 50, 53, 57, 60, 62, 65, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 83, 85, 88, 90, 92, 95, 97, 100, 103]
B = [100, 110, 95, 120, 130, 140, 125, 135, 150, 160, 155, 165, 170, 158, 175, 180, 168, 185, 190, 200, 195, 205, 210, 198, 215, 220, 230, 225, 240, 250]

Objectifs : normaliser les deux séries sur une échelle commune (centrage-réduction puis min-max), les représenter (boxplots comparatifs ou courbes dans l'ordre des observations), comparer et interpréter.

Étape 1 : les statistiques de base

(Calculs ajoutés.) Série A : min 12, max 103, $\mu=63{,}7$, $\sigma\approx25{,}21$ (population), médiane 66,5. Série B : min 95, max 250, $\mu=173{,}3$, $\sigma\approx41{,}34$, médiane 172,5. Les niveaux et les dispersions ne sont pas comparables en l'état.

Étape 2 : centrage-réduction

$A_i^{*} = \frac{A_i-\mu_A}{\sigma_A}$ et $B_i^{*} = \frac{B_i-\mu_B}{\sigma_B}$. Premières valeurs : $A^{*}\approx(-2{,}05;\ -1{,}81;\ -1{,}54)$ et $B^{*}\approx(-1{,}77;\ -1{,}53;\ -1{,}89)$. Les deux séries centrées-réduites ont moyenne 0 et écart-type 1 : elles sont sur la même échelle.

Étape 3 : normalisation min-max

La plus petite valeur devient 0, la plus grande 1 : les deux séries vivent dans $[0,1]$. Pour A : $12\to0$, $18\to\frac{6}{91}\approx0{,}066$, $25\to\frac{13}{91}\approx0{,}143$, $103\to1$. Pour B : $100\to\frac{5}{155}\approx0{,}032$, $95\to0$.

Étape 4 : représenter et interpréter

Deux graphiques à produire : une avec les séries centrées-réduites, une avec les séries min-max. Pour comparer : boxplots côte à côte (médianes, dispersion, valeurs atypiques) ou courbes dans l'ordre des observations (évolution régulière ou irrégulière ? pics isolés ? la normalisation change-t-elle la lecture ?).

Les médianes sont proches une fois standardisées ? Cela veut dire que les niveaux sont comparables en écarts-types : la normalisation efface l'unité, pas la forme.

Étape 5 : vers l'ACP (TP facultatif)

Avec les séries centrées-réduites, le coefficient de corrélation s'écrit :

(Calcul ajouté : sur ces 30 points, $r\approx0{,}98$ : A et B évoluent ensemble.) Le nuage des points $P_i=(A_i^{*}, B_i^{*})$ est donc très allongé. On peut projeter chaque point sur une direction $u=(u_1,u_2)$ normée : $c_i = A_i^{*}u_1 + B_i^{*}u_2$. Avec $u=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)$, $c_i=\frac{A_i^{*}+B_i^{*}}{\sqrt2}$ : c'est une réduction de dimension (2 variables $\to$ 1), et cette droite s'apparente à la première composante principale.

Piège : le coefficient de corrélation d'un sous-ensemble de 5 points, calculé avec les $\mu$ et $\sigma$ des 30 points, n'est qu'une approximation grossière (il peut même dépasser 1) ; le coefficient exact utilise toutes les observations.