Partie 3 · ACP

Le cercle de corrélation : lire les variables

Après l'ACP, on a des individus projetés (PC1, PC2) mais aussi les variables d'origine. Le cercle de corrélation représente les variables, pas les individus : il montre les corrélations entre chaque variable d'origine et les axes principaux.

Pourquoi un cercle de rayon 1 ?

Les données sont centrées-réduites (variance 1) : les coordonnées sont des corrélations, donc bornées par 1 en valeur absolue.

Construction

\text{corr}(X_j, PC_k) = \sqrt{\lambda_k}\; v_{jk}

où $v_{jk}$ est la composante $j$ du vecteur propre $k$ . En Python : corr = vecs * np.sqrt(vals), puis corr_circle = corr[:, :2] : chaque ligne est une variable, la colonne 1 donne la coordonnée sur PC1, la colonne 2 sur PC2.

Exemple minimal (ajouté) : deux variables centrées-réduites de corrélation $r=0{,}6$ . La matrice est $\begin{pmatrix}1 & 0{,}6\\0{,}6 & 1\end{pmatrix}$ , de valeurs propres $1{,}6$ et $0{,}4$ , de vecteurs propres $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ et $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ . Coordonnées de la première variable : $\sqrt{1{,}6}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}894$ sur PC1 et $\sqrt{0{,}4}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}447$ sur PC2 ; on a bien $0{,}894^2+0{,}447^2 = 1$ .

Vérifie que tu as compris

Que représentent les coordonnées d'une flèche dans le cercle de corrélation ?

Lire le cercle

Ce que tu regardes	Ce que ça dit
Longueur de la flèche	proche du cercle unité : variable bien résumée par PC1-PC2 ; proche du centre : information mal captée
Angle entre deux flèches	$\approx0^\circ$ : corrélation forte positive ; $\approx180^\circ$ : forte négative ; $\approx90^\circ$ : variables non corrélées
Projection sur un axe	valeur proche de $\pm1$ : variable fortement liée à cet axe ; proche de 0 : peu liée

Exemple typique du cours : Vitesse, Force, Endurance ont des flèches longues et de même direction (fortement corrélées, expliquent surtout PC1) ; Agilité a une orientation différente avec une composante PC2 marquée : information complémentaire. Coordonnées possibles : Vitesse $(0{,}85;\ 0{,}10)$ , Force $(0{,}88;\ 0{,}05)$ , Endurance $(0{,}82;\ 0{,}20)$ , Agilité $(0{,}60;\ -0{,}60)$ .

Vérifie que tu as compris

Deux flèches du cercle forment un angle d'environ 90°. Que peut-on dire des deux variables ?

Vérifie que tu as compris

Une flèche très courte, proche du centre du cercle, signifie que la variable est…

Erreurs fréquentes

Confondre individus et variables.
Interpréter une flèche courte.
Oublier le centrage-réduction.
Interpréter PC3 sur un cercle PC1-PC2.

Le TP « performance sportive » (énoncé)

Le TP du cours étudie 10 athlètes sur 4 critères : vitesse (km/h), force (kg soulevés), endurance (score sur 100) et agilité (score sur 100). Le travail demandé : centrer-réduire la matrice, calculer covariance, valeurs propres et vecteurs propres, projeter sur PC1 et PC2, calculer les coordonnées du cercle, puis conclure (quelles variables sont corrélées, ce que représente PC1, comment le cercle aide à nommer les axes). Les consignes sont celles que tu viens de voir ; refais-les avec tes propres calculs.