Centrage-réduction : mettre les variables sur la même échelle

Comment comparer une température corporelle (autour de 37 °C) et une fréquence cardiaque (autour de 65-80 bpm) ? Directement, c'est impossible : ce ne sont pas les mêmes unités ni les mêmes échelles. Le centrage-réduction règle ça en deux gestes.

Centrer

On retire la moyenne : $x_c = x - \bar{x}$. Avec x = [8, 12] : $\mu = 10$, donc $x_c = [-2, +2]$. Centrer déplace les données autour de 0, mais l'écart entre les valeurs reste le même (4 unités). Une valeur centrée positive est au-dessus de la moyenne, une valeur négative en dessous.

Réduire

On divise par l'écart-type : $x_s = \frac{x_c}{\sigma}$. Ici $\sigma = 2$, donc $x_s = [-1, +1]$.

Ce que corrige la réduction

Si x = [50, 60] et y = [1, 2], le centrage donne [-5, +5] et [-0.5, +0.5] : les amplitudes restent différentes (10 contre 1). La réduction met les deux variables sur la même échelle : écart-type 1.

Après centrage-réduction :

• moyenne $= 0$ ;
• écart-type $= 1$ ;
• les valeurs s'expriment en écarts-types par rapport à la moyenne (plus d'unité).

Exemples du cours

Températures : [15.2, 15.5, 15.1, 15.3, 15.4, 25.8, 26.1, 25.9, 15.2, 15.3, 15.1]. La moyenne vaut $\approx 18{,}173$. Après centrage, les trois valeurs chaudes (25,8 ; 26,1 ; 25,9) deviennent $\approx +7{,}6$ à $+7{,}9$ et les autres $\approx -3$. Avec un seuil de 2 sur les valeurs centrées : les indices 0, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10 sont « froids », 5, 6, 7 sont « chauds ».

Température et fréquence cardiaque : temp = [36.8, 37.1, 36.9, 37.5, 38.2, 36.7, 37.0] (amplitudes de l'ordre de 1) et heart = [62, 70, 65, 74, 90, 60, 68] (amplitudes de l'ordre de 20 avant réduction). Après réduction, le 5^e individu sort à $\approx +2{,}13$ en température et $\approx +2{,}16$ en fréquence cardiaque : sur les deux échelles, il est atypiquement élevé.

Remarque de méthode : le cours utilise np.std, soit l'écart-type population ($\text{ddof}=0$), pour réduire.