ANOVA : les moyennes de plusieurs groupes sont-elles égales ?

La covariance répond à « deux variables évoluent-elles ensemble ? ». L'ANOVA (analyse de la variance) répond à une autre question : plusieurs groupes ont-ils la même moyenne ? Exemples : méthodes pédagogiques, traitements médicaux, machines.

Prenons trois groupes : A = [12, 13, 11, 12], B = [16, 17, 15, 16], C = [10, 9, 11, 10]. Leurs moyennes sont 12, 16 et 10. Mais ces différences sont-elles réelles ou dues au hasard ? Même si les vraies moyennes étaient égales, les moyennes observées fluctueraient, car les données sont dispersées.

Le principe : signal contre bruit

L'ANOVA compare la variabilité entre les groupes (le signal) à la variabilité à l'intérieur des groupes (le bruit). Si les groupes sont très différents entre eux mais homogènes en leur sein, les moyennes sont probablement différentes.

Hypothèses et statistique F

• $H_0$ : toutes les moyennes sont égales.
• $H_1$ : au moins une moyenne est différente.

$F \approx 1$ : pas de différence claire. $F$ grand : différence probable. En Python (SciPy) : f_stat, p_value = f_oneway(A, B, C).

Interprétation de la p-value : $p \lt 0{,}05$ : différence significative ; $p \ge 0{,}05$ : pas de conclusion claire. L'ANOVA dit qu'il existe une différence, pas quels groupes diffèrent.

Le calcul à la main (précision ajoutée)

Avec $k$ groupes, $N$ valeurs au total, et $\bar{x}$ la moyenne générale : $SS_{\text{entre}} = \sum_g n_g(\bar{x}_g-\bar{x})^2$, $SS_{\text{intra}} = \sum_g\sum_i (x_{gi}-\bar{x}_g)^2$, puis

Pour A, B, C : moyenne générale $\approx 12{,}67$, $SS_{\text{entre}} \approx 74{,}67$, $SS_{\text{intra}} = 6$, $k=3$, $N=12$ : $F = \frac{74{,}67/2}{6/9} = 56$. $F$ est très grand, ce qui est cohérent avec des groupes bien séparés et homogènes.

Conditions d'application (simplifiées)

1. données quantitatives ;
2. groupes indépendants ;
3. distributions à peu près normales ;
4. dispersions comparables entre groupes.

Lien avec le reste du chapitre : la variance mesure la dispersion, l'écart-type l'homogénéité, et l'ANOVA généralise le test de moyenne à plus de deux groupes.